3x求导

时间:2024-01-22 07:58:20编辑:小早
一、引言

f'(x)表示的是y对x的一阶导数,另一种写法为:d(y)/dx

如果f'(x)还可导,那么可以再对f'(x)求导为f''(x)

可以表示为:d(f'(x))/dx=>d[d(y)/dx]/dx

还可以表示为:d2(y)/dx2(注意两个2的位置不同,分子的2针对于“d”分母的2针对于“x”)

所以:y''=f''(x)=d2y/dx2

那么如果f''(x)还可导,则

[f''(x)]'=y'''=f'''(x)=d3y/dx3

4阶及以上就不是撇号表示,改用数字,

如y对x的四阶导数:y^(4)=f^(4)(x)=d^4(y)/dx^4

总的来说,二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。

例1:

y=(3x-2)^4

y'=4*(3x-2)^3 *3

y''=4*3*(3x-2)^2 *3*3

y'''=4*3*2*(3x-2) *3*3*3

二、求高阶导数的方法

1、归纳法

例2:y=sinx, 求y^(n)

y'=cosx, y''=-sinx, y'''=-cosx, y^(4)=sinx,可以转换为:

y'=sin(x+π/2), y''=sin(x+2π/2), y'''=sin(x+3π/2), y^(4)=sin(x+4π/2)

即:y^(n)=sin(x+nπ/2)

同理(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)

例3:y=e^x *sinx

y'=(sinx+cosx)e^x=√2e^x sin(x+π/4)

由归纳法:

[e^x sinx]^(n)=(√2)^n e^x sin(x+nπ/4)

例4:y=1/(2x+1)

y'=(-1)(2x+1)^(-2) *2

y''=(-1)(-2)(2x+1)^(-3) *2*2

......

y^(n)=(-1)^n*n!*(2x+1)^-(n+1) *2^n

推广式:[1/(ax+b)]^(n)=[((-1^n)*n!*a^n)/(ax+b)^(n+1)]

例5:y=ln(3x+2),求y^(n),(n>=1)

y'=3/(3x+2)

与例4中推广式:1/(ax+b)类似

所以:y^(n)=3*[((-1^n)*(n-1)!*3^(n-1))/(3x+2)^n]

2、公式法

(1)(uv)'=u'v+uv'

(2)(uv)''=(u'v+uv')=u''v+u'v'+u'v'+uv''=u''v+2u'v'+uv''

(3)莱布尼茨公式:(uv)^(n)=Cn^0 u^(n)v+Cn^1 u^(n-1)v'+...+Cn^n u v^(n)

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