杨辉三角的性质与应用
杨辉三角的性质与应用如下：杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。 这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。OK,我来给你解释一下。杨辉三角应属于高中知识，而在生活中应用较多的是小学和初中知识，除非你从事数学研究工作，否则很少用，你画个杨辉三角给买菜的看你也买不到便宜菜。高中以后的数学与生活关联较少，主要起到锻炼思维的作用。
杨辉三角的应用
通过杨辉三角，我们可以解决一些数学问题，比如涉及到找规律的问题和赋值法的使用。【应用一】与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数，第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，即，以此类推。【应用二】又因为性质：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
杨辉三角的规律以及推导公式是什么？
杨辉三角的规律以及推导公式：1、 每个数等于它上方两数之和。2、 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。3、 第n行的数字有n+1项。4、第n行数字和为2^(n-1)（2的(n-1)次方）。5、 (a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。6、 第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质。介绍：杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形，帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”。结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和。
杨辉三角的规律以及推导公式是什么?
1 二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。由上式得出： (a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢？答案为： a由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1但 4似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b)的展开式。展开式为： a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (11 0)1 1 (11 1)1 2 1 (11 2)1 3 3 1 (11 3)1 4 6 4 1 (11 4)1 5 10 10 5 1 (11 5)1 6 15 20 15 6 1 (11 6)杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10,10,5,1 ）,（1,6,15,20,15,6,1 ）, （1,7,21,35,35,21,7,1 ）所以： (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。由上式可以看出， (a+b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2? n -n ，b 的次数依次上升， 0、1、2? n 次方。系数是杨辉三角里的系数。2 杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )? ?相加得到的数是 1，2， 4，8，16，32， 64，? 刚好是 2 的 0，1，2，3，4，5， 6，? n 次幂，即杨辉三角第n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7 行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2) 中第7 行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3) 中第7 行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4) 中第7 行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5) 中第7 行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6) 中第7 行之前的数字相加得 1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7 行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1由上面可得：杨辉三角中n 行中的第i 个数是i-1 中前n-1 个数之和，即第n 行的数分别为1、(1) 中第n 行之前的数字之和、(2) 中第n 行之前的数字之和、(3) 中第n 行之前的数字之和、(4) 中第n 行之前的数字之和、?、(n-3) 中第n 行之前的数字之和、1。总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：1、每个数等于它上方两数之和。2、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大。3、第n 行的数字有n+1 项。4、第n 行数字和为2(n-1) 。（2 的(n-1) 次方）5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。[1]6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) ，这是组合数性质介绍：杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。
