晶体的投影
投影是研究物体在空间的方位、取向的常用方法。晶体投影的方法很多，在结晶学中最常用的是极射赤平投影。此外还有一种投影方法，即心射极平投影。（一）极射赤平投影极射赤平投影原理如图2-6所示：取一点 O 为投影中心，以一定的半径作一个球，称为投影球；通过球心作一个水平面 Q，称为投影面；投影面与投影球相交为一大圆（所谓大圆即其直径等于球的直径的圆），它相当于地球的赤道，称为基圆；垂直投影面的直径 NS，称为投影轴；投影轴与投影球面的两个交点N和 S，即投影球的北极和南极，它们分别称为上目测点和下目测点。极射赤平投影（stereographic projection）就是：以赤道平面为投影面，以南极（或北极）为目测点，将球面上的点、线进行投影。具体说就是，将上半球面上的某个点与南极连线（或下半球上的某个点与北极连线），如图 2-6 中球面上的一点 a′与南极S连线，这个连线与赤道投影平面相交于一点如图2-6中的点 a，这个交点就是球面上 a′点的极射赤平投影点。由于目测点为南北极，投影落在赤道平面上，故称为极射赤平投影。图2-6 极射赤平投影原理示意图下面介绍晶体的极射赤平投影，可分为以下两个步骤，首先进行晶体的球面投影，然后进行极射赤平投影。1.晶体的球面投影（1）晶体上各晶面的球面投影（spherical projection）：习惯上，我们对晶面投影，并不是将晶面本身进行投影，而是将各晶面的法线在球面上投影。设想将晶体置于投影球中心处，然后从球心出发，引每一晶面的法线，延长后各自交球面于一点，这些点便是相应晶面的球面投影点，如图2-6中晶面 A 的球面投影点为a′，图2-7（a）中示出了一个晶体上所有晶面的球面投影。图2-7 晶体上各晶面的球面投影（a）及极射赤平投影（b）（2）晶体上各种直线的球面投影：晶面的投影是各个晶面法线的投影，它实质上是直线方向投影，而不是晶面本身的投影，因此晶体上的各种直线（如晶棱、结晶轴、对称轴、晶带轴、双晶轴等）方向的投影，其基本情况便与之完全相同，只不过在进行投影时，首先应将直线平移，使之通过投影球球心。（3）晶体上平面本身的球面投影：习惯上，晶体上的对称面、双晶面、双晶结合面的投影，是将这些平面直接投影的，首先将平面平移至通过投影球球心，然后延展之，使其与球面相交，交线形成一个所谓的大圆，该大圆就是平面本身的球面投影。2.晶面的球面坐标将晶面进行球面投影后，晶体上各晶面就转换成球面上的投影点。该点在球面上的方位可以用球面坐标来予以确定。投影球上的球面坐标，其性质与地球上的经纬线相当。在球面坐标中，与纬度相当的是极距角ρ，与经度相当的是方位角φ。极距角是指该球面投影点与北极N之间的弧角，也即为投影轴与晶面法线之间的夹角，这个角度应在0°～90°之间，如果在 90°～180°之间，意指该晶面位于下半球。方位角是指包含该球面投影点的子午面与0°子午面的夹角，0°子午面是事先选定的，所谓子午面是指包含投影轴的圆切面，它可以绕投影轴做360°旋转，所以方位角应在0°～360°之间。极距角ρ和方位角φ就构成了球面坐标（spherical coordinate），通常也称为极坐标。图2-6示出了晶面 A的方位角与极距角。3.晶体的极射赤平投影经过球面投影后，晶面便转变成球面上的点，晶面大小、距中心的远近的影响便可以完全消除，而晶面的空间方位及相互之间的关系则被突出地显示出来；此外，晶体上各种直线和平面（如对称轴、对称面）也都可转换成球面上的点或大圆弧线来表示其方位。但是，球面投影的结果仍然是一个立体图形，实际应用时很不方便，因而还需要转换成平面上的投影。这时就需要用前述的极射赤平投影（简称赤平投影），即将各晶面的球面投影点与南极点S做连线，每条连线将与投影面相交于一点，这些点也就是相应晶面的极射赤平投影点。那么，球面上的大圆弧线的赤平投影，就是将弧线上一系列的点都做如上的赤平投影，结果会在赤平面上得到一系列的投影点，这一系列点连起来就形成一条弧线（称大圆弧，见后述）。在进行了极射赤平投影后，方位角与极距角也可以在投影平面内测量出来，方位角可在基圆上量得，而极距角就表现为距圆心的距离（设 h 为距圆心的距离，与极距角的关系为：h=r tgρ/2，其中 r 为基圆半径，请同学们根据图2-6中所示的空间关系自己验证上述关系式，见习题）。4.吴氏网以上我们从原理上讨论了晶体投影的问题。但是，在实际工作中，并不是先作球面投影，然后再转换成赤平投影的；而是利用投影网，根据要投影的晶面的球面坐标值直接画到极射赤平投影图上的。为此，可以先将球面上的坐标网线投影到赤平投影面上，得到平面投影网，从而可以按投影点的球面坐标值直接在投影网上标定投影点的位置。投影网最常用的就是吴氏网（Wulff net）。为了便于理解吴氏网的构成，我们先讨论一下球面上圆的极射赤平投影。球面上小圆的投影如图2-8a、b、c所示。我们看到与投影面平行的水平小圆投影为基圆的同心圆（图2-8a）；与投影面垂直的小圆投影为小圆弧（图2-8b）；任意倾斜的小圆投影后仍然是小圆 〔图2-8（c）〕。图2-8 球面上小圆的投影球面上大圆的投影如图2-9a、b所示。水平大圆即为基圆；与投影面垂直的大圆投影为直线 〔图 2-9（a）〕；倾斜大圆投影为以基圆直径为弦的大圆弧〔图2-9（b）〕。图2-9 球面上大圆的投影吴氏网如图2-10 所示。网面相当于极射赤平投影面，目测点投影于网的中心，圆周为投影球上的水平大圆即基圆，两个直径相当于两个相互垂直且垂直于投影面的直立大圆的投影 〔见图2-9（a）〕，大圆弧相当于球面上倾斜大圆的投影 〔见图2-9（b）〕，小圆弧相当于球面上垂直投影面的直立小圆的投影〔见图2-8（b）〕。这样构成的吴氏网可以做为球面坐标的量角规，它的基圆上的刻度可以度量方位角φ，它的直径上的刻度可以度量极距角ρ；同时应用大圆弧上的刻度可以度量晶面的面角（即晶面法线的夹角）。现将吴氏网在晶体的极射赤平投影上的具体应用方法，举例简述如下：选择一张半透明纸覆盖于网上，描出基圆，并用符号×标出网的中心（即S、N极的投影点）。选择一横半径为0°子午面，在它和基圆的交点处注明φ=0°（如图2-11）。这样就可以在网面上进行投影了。下面举出两个操作的例子。图2-10 吴氏网（1）根据晶体测量，已知一晶面 M 的球面坐标：极距角ρ1 和方位角φ1。作该晶面的极射赤平投影。如图2-11，首先在基圆上从φ=0°点开始顺时针数一角度φ1，得到一点，由此点与网的中心点作连线，此线即为方位角为φ1 的子午面的投影。显然，欲求之点必在此直线上，并距网中心（北极 N 的投影点）为ρ1。但是，吴氏网在这一方向上并未绘有直立大圆（子午面）；因此必须使中心点不动，旋转半透明纸，使纸上的直线与网的横半径重合，利用网的横半径上的刻度，从网的中心，量得一个角度ρ1；这样就可以绘出该晶面的极射赤平投影点 M。（2）已知两晶面的球面坐标 M（ρ1，φ1）和 P（ρ2，φ2），求此两晶面的面角。首先考虑该晶面的球面投影 〔如图 2-12（a）〕，M 和 P 分别为该两晶面的球面投影点；MO、PO 为该两晶面的法线；两晶面的面角为其法线夹角，亦即 M、P 点所在的大圆弧上MP 点间的弧角。根据 M 和P 的球面坐标利用吴氏网求得它们的极射赤平投影点M 和 P 〔图 2-12（b）〕〔操作方法同（1）〕；中心不动旋转半透明纸，使M 和P 点落于吴氏网的一条大圆弧上，在大圆弧上读得 M 和 P 点间的刻度，即为该两晶面的面角。图2-11 根据晶面 M 的球面坐标利用吴氏网作它的极射赤平投影除上述两例外，在晶体上利用吴氏网还可以做多种图解计算，如求晶体常数和晶面符号，根据晶带求可能晶面等。此外，吴氏网还被应用于晶体光学、岩石学和构造地质学的某些研究工作中。图2-12 求晶面 M 和P 的面角（二）心射极平投影心射极平投影（gnomonic projection）的方法不及极射赤平投影常用，但它在晶体测量过程中确定晶面符号以及解释X-射线劳埃图像却非常有用。这种投影方法与极射赤平投影的区别在于将目测点置于投影球中心，垂直投影轴过北极点 N 作一切面作为投影面，晶体也是置于球心的，投影时，各晶面法线外延将在投影球上形成球面投影点，再外延将在投影面上形成心射极平投影点（见图2-13）。图2-13 心射极平投影示意图此投影方法的优点是：晶体上属于同一晶带的晶面投影点落在同一直线上，晶体上所有投影点的分布可按晶带连接形成格子状图形，该图形称极格子，利用该极格子可以很方便地确定各投影点所代表的晶面的晶面符号（见第四章）。此方法的缺点是：当晶面的极距角较大时（例如大于70°时），投影点将落在距球心投影点很远的地方，当极距角等于90°时，投影点则落在无穷远处，所以这些极距角很大的晶面将不能投影。
球体的水平投影是什么
球体的水平投影是什么？答：球面上的投影原点(map origin)后，局部坐标系可以按三个方向确定：（1）z轴：map origin 指向球心（图中没有画图来）；（2）y轴：该点在原坐标系中沿经线方向的切线；（3）x轴：按与z轴、y轴两两垂直的关系，求出x轴。下面直接给出结论：如果在单位球面（球心坐标（0,0,0）,球径r=1）上一点P的经、纬度分别为 θ 和 φ ，则该点处的局部参考系为 z=(cos(φ)cos(θ),cos(φ)sin(θ),sin(φ)) , y=(cos(θ)sin(φ),sin(θ)sin(φ),−cos(φ)) , x=(−sin(θ),cos(θ),0) .可以验证上述 x,y,z 轴互相正交，且均为单位向量。确定好局部坐标系后，要求原坐标系中一点在新坐标系中的位置，只需要用原坐标乘以坐标转换矩阵即可。 M=(x,y,z)T ,变换后的坐标 (x′,y′,z′)=(x0,y0,z0)M
晶体的球面坐标与球面投影
1.晶体的球面坐标我们知道，地球表面上的任何一点都可以用经度和纬度来表示其地理位置，经度和纬度称为该点的球面坐标。那么，什么是晶体的球面坐标呢？在双圈反射测角仪测角时，晶体置于水平圈和竖圈旋转轴的交点上，而水平圈和竖圈的半径又是相等的，因此我们可以将它们的交点看作是地球的地心，把水平圈看作地球的一条纬线（赤道），把竖圈看作地球的一条经线。这样，从水平圈上读取的φ值，实际上是包含晶面法线的子午面与零度子午面之间的夹角，即方位角（azimuthal angle；经度），从竖圈上读取的ρ值实际上是北极与晶面法线之间的夹角，即极距角（polar angle；纬度，只不过该纬度值是以北极为0°获得的）（图3-4）。由此可见，φ和ρ实际上是晶面法线与球面交点的坐标。我们把晶面法线与球面交点的方位角φ（经度）和极距角ρ（纬度）称为该晶面的球面坐标（spherical coordinate）。显然，晶面的球面坐标反映了该晶面在晶体上的空间方位。因此，在双圈反射测角仪上获得的一对对的数据，正好是各晶面的球面坐标φ和ρ。图3-4 晶面A的球面坐标2.晶体的球面投影图3-5 由立方体+八面体+菱形十二面体构成的聚形晶的球面投影按照习惯，晶体的投影是指对晶体中所有晶面法线的投影。晶体的球面投影就是将晶体中所有晶面法线投影到晶体外的投影球球面上的过程。如图3-5所示，在对晶体进行球面投影时，首先将该晶体置于投影球的中心，并使晶体的中心与投影球的球心重合。这时设想从晶体的中心（即球心；注意，不是晶面的几何中心）作各个晶面的法线，并使之延长与晶体外围设想的投影球球面相交，该交点称为各晶面的极点。这些极点就是各晶面在球面上的投影点（图中各点的阿拉伯数字表示的是各晶面的晶面符号，详见以后章节）。各极点在球面上的位置由它们的球面坐标φ和ρ确定。从图可以看出，晶体上凡是晶棱相互平行的晶面，其球面投影点（极点）都位于同一个大圆（在球面上其球面半径为90°的圆）上；任意两个晶面的面角（晶面法线之间的夹角）都可以从过这两个晶面极点的大圆（过两晶面极点的平面与球面的交线）上两个极点间的弧角得到。除晶面法线的投影外，晶体投影还涉及其他有关直线（如后续章节中介绍的晶棱、对称轴、晶带轴、双晶轴等）和平面（如对称面、双晶面等）本身的投影。对晶体上直线的球面投影与晶面法线的投影相同，只是在投影时应先将直线平移至投影球球心，直线与球面相交获得两个投影点，通常只取一个即可。对晶体上平面本身的球面投影也需先将平面平移至球心，平面与球面相交所得的大圆便是该平面本身的球面投影。
什么是晶胞的球面投影？
晶胞沿xyz轴投影的意思：x代表横轴，y代表纵轴，z代表竖轴。晶体的投影是对晶体中所有晶面法线的投影。晶体的球面投影就是将晶体中所有晶面法线投影到晶体外的投影球球面上的过程。在对晶体进行球面投影时，首先将该晶体置于投影球的中心，并使晶体的中心与投影球的球心重合。除晶面法线的投影外晶体投影还涉及其他有关直线和平面（如对称面、双晶面等）本身的投影。对晶体上直线的球面投影与晶面法线的投影相同，只是在投影时应先将直线平移至投影球球心，直线与球面相交获得两个投影点，通常只取一个即可。对晶体上平面本身的球面投影也需先将平面平移至球心，平面与球面相交所得的大圆便是该平面本身的球面投影。
球面投影
从原理上讲，晶体投影的第一步是进行晶体的球面投影，然后再转换成平面投影图。晶体的球面投影 ( spherical projection) 是各晶面之法线在球面上的投影。它是以晶体的中心为球心、任意长为半径作一球面; 然后从球心 ( 注意: 不是从每个晶面本身的中心) 引每一晶面的法线，延长后各交球面于一点 ( 图 2. 11) ，这些点便是相应晶面的球面投影点。由于晶体的投影是各个晶面法线的投影，它实质上是直线方向的投影，而不是平面本身的投影，因此晶体上的各种直线方向，如晶棱等的投影，其情况便与之相同。进行投影时，首先应将直线平移，使之通过投影球球心，然后延长之。此时它将与投影球球面在相对的两侧各交于一点，此两点便是该直线方向的一对球面投影点。但它们实质上只是投影球中同一直径之两个相反方向端点的投影，所以一般只需标出其中的一个投影点就够了。至于对晶体中的平面本身进行投影时，则是首先将平面平移，使之通过投影球球心，然后延展之，与球面相截成一个所谓的大圆，后者即是该平面本身的球面投影。这里所称的大圆 ( great circle) 是指: 球面上其球面半径为 90°的圆，亦即与球面上某个定点间的角距均为 90°的各点所连成的圆。因此，大圆也就是指: 球面上其平面半径等于球半径的圆。与大圆相对应的还有所谓的小圆 ( small circle) ，它是指: 球面上其球面半径小于 90°的圆。显然，小圆的平面半径必定小于球半径。图 2. 11 异极矿晶体之球面投影的示意图( 罗谷风，1985、2008)
